Pokašlávání u půlročního miminka. Může jít o alergii?

Ahojky, Mám 6 měsíčního syna. Již přes měsíc nás trápí občasný štěkavý kašel. Začalo to na konci dubna. Několikrát za den ,,zaštěkal". Jiné obtíže neměl, ani nemá. Sem tam si zakucká úplně normálně - když mu třeba zaskočí. Paní doktorka ho poslechla - nic nenašla, do krku se dívala - nic nenašla, malý bral týden sirup prospan. Víc se po něm rozkašlal, ale nezačal nic vykašlávat. Po týdnu jsme šli znovu k paní doktorce. To samé, žádný nález, změřila saturaci - krásná hodnota 98. Napsala recept na Ventoliber. Bral ho 5 dní a kašlal jen chvilku po podáni, pak celý den nic a po odpoledním podáni zase a pak nic. (Dávala jsem nejpozději v 16hod.) Bylo nám doporučeno vysazení. Po pár dnech se to zlepšilo, ,,zaštěkal" 1x-2x za den a jen trošičku. Nemá žádné záchvaty kašle, dýchá normálně, rýmu nemá - jen trošku suchý nos - řešíme mořskou vodou, ve dne ani v noci ho to nebudí, zakašle venku, nebo vevnitř, když je na zádech, nebo na břišku, jinak je to veselé dítě, které krásně spí i jí. Nevím, zda to má souvislost, ale pár dní po tom začátku pokašlávání se mu objevil drobný ekzém na ručičkách. Nesvědí ho, nijak ho neobtěžuje. Jen dodám, že manžel je alergik na pyl, prach a roztoče a má ekzém. Je možné, že se takhle projeví alergie na pyl, nebo něco jiného? Může to souviset s očkováním? Začalo to 14 dní po podání 1.dávky Prevenaru. V pondělí jdeme zase k paní doktorce, ale už si přijdu jako blázen, který se nudí, proto tahá dítě po doktorech. U paní doktorky samozřejmě nezakašlal ani jednou. Jestli jste dočetli až sem, tak moc děkuji a pokud mi odpovíte a dokážete poradit, nebo zdělit svou zkušenost, budu moc vděčná. Předem děkuji 🙏